Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Linéarité : _a^b ( f + g) = _a^b f + _a^b g. On peut sortir les constantes multiplicatives de l'intégrale.

Le cours

Propriété de linéarité Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b I et , R. L'intégrale est une opération linéaire : _a^b ( f(x) + g(x))\,dx = _a^b f(x)\,dx + _a^b g(x)\,dx Somme et facteur constant • _a^b (f(x) + g(x))\,dx = _a^b f(x)\,dx + _a^b g(x)\,dx • _a^b k f(x)\,dx = k _a^b f(x)\,dx (pour k R constant). Démonstration Découle directement de la linéarité des primitives : si F' = f et G' = g, ( F + G)' = f + g. Exemple de calcul _0^2 (3x^2 - 4)\,dx = 3_0^2 x^2\,dx - _0^2 4\,dx = 3 8/3 - 8 = 0. Une intégrale nulle n'impose pas une fonction nulle : ici les parties positive et négative se compensent. Usage en exercice La linéarité permet de combiner des intégrales qu'on ne sait pas calculer séparément : si I + J et I - J sont simples, on retrouve I et J par un système.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral