Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour (ax+b)e^kx\,dx : toujours poser u(x) = ax+b (pour dériver) et v'(x) = e^kx (pour intégrer).

Le cours

Cas type : P(x)e^ax\,dx Pour intégrer le produit d'un polynôme P(x) par une exponentielle e^ax : • On pose systématiquement u(x) = P(x) afin que la dérivation abaisse le degré du polynôme (u'(x) = P'(x)). • On pose v'(x) = e^ax dont une primitive est immédiate : v(x) = 1/ae^ax. Polynôme de degré 1 Une seule intégration par parties suffit : u'(x) est alors une constante, et la nouvelle intégrale ne contient plus que l'exponentielle. Polynôme de degré 2 Nécessite deux intégrations par parties successives pour éliminer complètement la partie polynomiale. Exemple avec e^2x Pour x\,e^2x\,dx : u(x) = x, v(x) = 1/2e^2x (avec a 0, ici a = 2). On obtient la primitive (x/2 - 1/4)e^2x. Contrôle par dérivation Une primitive de P(x)e^ax est de la forme Q(x)e^ax avec Q de même degré que P. On vérifie en dérivant : ((x/2 - 1/4)e^2x)' = (1/2 + x - 1/2)e^2x = x\,e^2x.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral