Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Intersections de C_f et C_g : solutions de f(x) - g(x) = 0. • f(x) - g(x) 0 sur J C_f au-dessus de C_g sur J. • Un trinôme à deux racines est du signe de -a entre ses racines et du signe de a à l'extérieur. • La position relative peut changer à chaque point d'intersection : on étudie le signe intervalle par intervalle.

Le cours

Acquis de Première : intersection et position relative Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I, de courbes C_f et C_g. • Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f(x) = g(x), c'est-à-dire de f(x) - g(x) = 0. • Si f(x) - g(x) 0 pour tout x d'un intervalle J, alors C_f est au-dessus de C_g sur J ; si f(x) - g(x) 0, elle est au-dessous. Signe d'un trinôme La différence de deux fonctions polynômes est souvent un trinôme ax^2 + bx + c. S'il a deux racines x_1 Méthode en trois étapes 1. Écrire d(x) = f(x) - g(x) et la réduire. 2. Résoudre d(x) = 0 : on obtient les abscisses d'intersection. 3. Dresser le tableau de signes de d(x) : chaque intervalle donne la courbe située au-dessus. C'est exactement ce dont on aura besoin pour calculer l'aire comprise entre deux courbes.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral