Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f

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À retenir

• _a^a f(x)\,dx = 0 pour toute fonction continue f. • _b^a f(x)\,dx = -_a^b f(x)\,dx : échanger les bornes change le signe. • Si f 0 et a > b, alors _a^b f(x)\,dx 0.

Le cours

Propriétés élémentaires des bornes Par convention et en accord direct avec la formule fondamentale F(b) - F(a) : 1. L'intégrale sur un point est toujours nulle : _a^a f(x)\,dx = F(a) - F(a) = 0. 2. Intervertir les bornes d'intégration change le signe de l'intégrale : _b^a f(x)\,dx = -_a^b f(x)\,dx. Bornes confondues Pour tout réel a : _a^a f(x)\,dx = 0 Géométriquement, c'est l'aire d'un segment de largeur nulle. Inversion des bornes Pour tous réels a et b : _b^a f(x)\,dx = F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) = -_a^b f(x)\,dx Exemple d'inversion _2^0 3\,dx = -_0^2 3\,dx = -(3 2) = -6. La fonction est positive, mais les bornes sont dans l'ordre décroissant : l'intégrale est négative. Pourquoi c'est utile Ces propriétés servent à réordonner les bornes avant d'utiliser la positivité ou une interprétation en aire, et à simplifier des sommes : _1^4 f + _4^1 f = 0 sans connaître f.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral