Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Si m f(x) M sur [a, b] avec a b, alors m(b-a) _a^b f(x)\,dx M(b-a).

Le cours

Théorème de l'inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a b. S'il existe deux réels m et M tels que pour tout x [a, b], on a m f(x) M, alors : m(b - a) _a^b f(x)\,dx M(b - a) Interprétation géométrique L'aire sous la courbe est comprise entre l'aire du rectangle inférieur de hauteur m et l'aire du rectangle supérieur de hauteur M, tous deux de base (b - a). Application aux limites Cet encadrement permet souvent d'obtenir des limites de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes. Méthode et exemple 1. Étudier les variations de f sur [a\,;\,b]. 2. En déduire m et M (attention aux extremums atteints à l'intérieur de l'intervalle). 3. Multiplier par b - a. Exemple : sur [1\,;\,4], 1 x 2, donc 3 _1^4 x\,dx 6 ; la valeur exacte est 14/3 4,67. Valeur moyenne En divisant par b - a > 0 : m 1/b - a_a^b f(x)\,dx M. La valeur moyenne de f est comprise entre son minimum et son maximum.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral