Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Aire entre deux courbes : A = _a^b (f(x) - g(x))\,dx avec f(x) g(x) et a b. Toujours (Haut) - (Bas).

Le cours

Aire entre deux courbes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] telles que pour tout x [a, b], on a f(x) g(x). L'aire du domaine délimité par les deux courbes C_f et C_g et les droites x = a et x = b est égale à : A = _a^b (f(x) - g(x))\,dx (en u.a.) Règle « Courbe du haut moins Courbe du bas » On intègre toujours : Fonction dominante - Fonction dominée Cette formule reste vraie même si les courbes passent sous l'axe des abscisses ! Points d'intersection Si les bornes ne sont pas précisées, elles correspondent aux abscisses des points d'intersection des deux courbes, solutions de l'équation f(x) = g(x).

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral