Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

La fonction (x) = _a^x f(t)\,dt est dérivable et vérifie '(x) = f(x) et (a) = 0.

Le cours

Théorème de dérivation d'une intégrale Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a I. La fonction définie sur I par (x) = _a^x f(t)\,dt est la primitive de f sur I qui s'annule en a. Elle est dérivable sur I, et pour tout x I : '(x) = f(x) Démonstration Soit F une primitive de f sur I. Par définition, (x) = F(x) - F(a). En dérivant : '(x) = F'(x) - 0 = f(x). De plus, (a) = _a^a f(t)\,dt = 0. Sens de variation de Comme '(x) = f(x), le sens de variation de la fonction est directement donné par le signe de la fonction f sous l'intégrale. Étudier sans la calculer Avec (x) = _0^x 1/1 + t^2\,dt : '(x) = 1/1 + x^2 > 0, donc est strictement croissante sur R ; comme (0) = 0, on a (x) 0 pour x 0. Hypothèse indispensable Le théorème exige que f soit continue sur I et que a I. Il garantit l'existence d'une primitive pour toute fonction continue, même si on ne sait pas l'écrire avec les fonctions usuelles (cas de t e^-t^2).

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral