Relation de Chasles pour le calcul intégral

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Relation de Chasles : _a^b f(x)\,dx = _a^c f(x)\,dx + _c^b f(x)\,dx. Valable quel que soit l'ordre des réels a, b, c.

Le cours

Théorème de Chasles Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b, c I : _a^b f(x)\,dx = _a^c f(x)\,dx + _c^b f(x)\,dx Démonstration Soit F une primitive de f sur I. _a^c f + _c^b f = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = _a^b f. Découpage d'intervalles Cette relation est essentielle pour intégrer des fonctions définies par morceaux (comme les valeurs absolues |x - c|) en découpant l'intervalle au point de raccordement c. Exemple : fonction définie par morceaux Soit f(x) = 2 sur [0\,;\,1] et f(x) = 2x sur [1\,;\,3] (f est continue en 1). Alors _0^3 f = _0^1 2\,dx + _1^3 2x\,dx = 2 + (9 - 1) = 10. Ordre quelconque des bornes La relation reste vraie si c n'est pas entre a et b. Exemple : _0^2 f = _0^5 f + _5^2 f. Elle sert aussi à isoler une intégrale inconnue : _a^c f = _a^b f - _c^b f.

Dans ce chapitre

• Dérivées usuelles et opérations de dérivation de Première
• Calcul d'aires géométriques élémentaires, rectangles et trapèzes de Première
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe
• Intersection de courbes et signe de la différence pour le calcul d'aires
• Théorème fondamental de l'analyse : calcul d'intégrale par primitive _a^b f = F(b) - F(a)
• Extension de l'intégrale aux fonctions de signe quelconque et intégrales négatives
• Propriétés immédiates : intégrale sur un point et inversion des bornes _b^a f = -_a^b f
• Relation de Chasles pour le calcul intégral
• Linéarité de l'intégrale : somme de fonctions et multiplication par un réel
• Positivité de l'intégrale et comparaison de deux fonctions f g
• Inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale m(b-a) _a^b f M(b-a)
• Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle : formule et interprétation
• Fonction définie par une intégrale x _a^x f(t)\,dt et calcul de sa dérivée
• Intégration par parties (IPP) : formule et méthode de décomposition
• Intégration par parties appliquée au produit d'un polynôme et de l'exponentielle
• Intégration par parties appliquée aux fonctions avec logarithme népérien
• Calcul de l'aire du domaine délimité par deux courbes sécantes
• Suites d'intégrales I_n = _a^b f_n(t)\,dt : minoration, majoration et sens de variation
• Convergence de suites d'intégrales par le théorème des gendarmes
• Bilan : Synthèse et méthode sur Calcul intégral