Limite finie en un point réel et prolongement par continuité

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Limite finie en x_0 : _x x_0^- f(x) = _x x_0^+ f(x) = L R. • Prolongement par continuité : poser f(x_0) = L. • Graphiquement, cela comble un 'point manquant' sur la courbe.

Le cours

Limite finie en un point • On dit que f admet pour limite le réel L en x_0 si les valeurs de f(x) se rapprochent autant qu'on veut de L lorsque x est suffisamment proche de x_0. • Prolongement par continuité : Si f n'est pas définie en x_0 mais admet une limite finie L quand x x_0, on peut définir sur D_f \x_0\ une fonction f qui prolonge f et qui est continue en x_0, en posant : f(x) = cases f(x) & si x D_f \\ L & si x = x_0 cases Exemple classique du « trou » f(x) = x^2 - 1/x - 1. Non définie en 1, mais pour x 1 : f(x) = x + 1. _x 1 f(x) = 2. On peut la prolonger en posant f(1) = 2. Limite à gauche et à droite égales La limite finie en x_0 existe si et seulement si les limites à gauche et à droite en x_0 existent et sont égales : _x x_0^- f(x) = _x x_0^+ f(x) = L.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions