Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x - e^x = 0 asymptote y = 0 en -. • _x + e^x = +. • _x 1/x^n = 0. • Attention à la parité de n en - pour x^n.

Le cours

Tableau de référence des limites usuelles Pour tout entier n 1 : • Puissances en + : _x + x^n = +, _x + x = +. • Puissances en - : _x - x^n = + si n est pair, et - si n est impair. • Inverse en : _x + 1/x^n = 0, _x - 1/x^n = 0, _x + 1x = 0. • Exponentielle : _x + e^x = + et _x - e^x = 0 Asymptote de l'exponentielle Puisque _x - e^x = 0, l'axe des abscisses (y = 0) est une asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en -. Limites en 0 de l'inverse • _x 0^+ 1/x = + et _x 0^- 1/x = - • Pour x^2 : _x 0 1/x^2 = + (carré toujours positif).

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions