Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• f g et g + f +. • f g et g - f -. • Inégalités trigonométriques clés : -1 (x) 1 et -1 (x) 1.

Le cours

Théorèmes de comparaison (limites infinies) Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de + : • Théorème de minoration vers + : Si, pour tout x assez grand, f(x) g(x) et si _x + g(x) = +, alors : _x + f(x) = + • Théorème de majoration vers - : Si, pour tout x assez grand, f(x) g(x) et si _x + g(x) = -, alors : _x + f(x) = - Usage avec les fonctions trigonométriques Comme -1 (x) 1 et -1 (x) 1, on minore x + (x) par x - 1. Comme x - 1 +, x + (x) +. Sens des inégalités • Plus grand qu'une fonction qui tend vers + +. • Plus petit qu'une fonction qui tend vers - -. Tout autre sens d'inégalité ne permet pas de conclure !

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions