Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• u(x) f(x) v(x) avec u = v = L f = L. • Nécessite la même limite L pour les deux bornes. • Incontournable avec les termes bornés : , (et (-1)^n pour les suites).

Le cours

Théorème d'encadrement (des gendarmes) Soient u, v et f trois fonctions définies au voisinage d'un point a (où a peut être un réel, + ou -) : Si, au voisinage de a : u(x) f(x) v(x) et si _x a u(x) = _x a v(x) = L (avec L R), alors : _x a f(x) = L La fonction f, « coincée » entre les deux « gendarmes » u et v qui convergent vers la même limite L, est forcée de converger vers L. Application type Bac Pour f(x) = (x)/x en + : -1 (x) 1 -1/x (x)/x 1/x. Comme 1/x 0, la limite vaut 0. Condition d'égalité des limites Le théorème ne fonctionne QUE si les deux bornes u(x) et v(x) tendent vers la même limite finie L. Si u 1 et v 3, on ne peut pas conclure.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions