Limite finie en l'infini et asymptote horizontale

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x f(x) = L droite y = L est asymptote horizontale. • Attention : équation de la forme y = L (et non x = L). • Position relative donnée par le signe de f(x) - L.

Le cours

Définition et asymptote horizontale • Définition : Soit L R. On dit que f(x) a pour limite L en + (noté _x + f(x) = L) si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand. • Interprétation graphique (Asymptote horizontale) : Si _x + f(x) = L (ou en -), alors la droite d'équation : y = L est une asymptote horizontale à la courbe C_f au voisinage de + (ou -). Position relative courbe - asymptote Pour étudier la position de C_f par rapport à l'asymptote y = L, on étudie le signe de la différence f(x) - L. • Si f(x) - L > 0, la courbe est au-dessus. • Si f(x) - L Exemple usuel Comme _x + 1/x = 0, l'axe des abscisses (y = 0) est asymptote horizontale à l'hyperbole en + et en -.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions