Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Numérateur vers L 0 et dénominateur vers 0^+ ou 0^- : le quotient tend vers + ou -. • Numérateur de limite finie et dénominateur vers : le quotient tend vers 0. • (+) + (+) = + et L (+) = si L 0. • Pour les produits et quotients infinis, appliquer la règle des signes.

Le cours

Opérations sur les limites (cas déterminés) Soient f et g deux fonctions admettant une limite (notée L, L' si elle est finie) au même point a, réel ou infini : • Somme : L + L' = L+L', L + (+) = +, (+) + (+) = +, (-) + (-) = -. • Produit : L L' = LL', L (+) = (si L 0, selon le signe de L), () () = (règle des signes). • Quotient : L/L' = L/L' (L' 0), L/ = 0, /L' = (L' 0, règle des signes), L/0^ = (L 0). Règle des signes absolue Pour les produits et quotients infinis, applique scrupuleusement la règle des signes ordinaire : (+) (+) = (+), (+) (-) = (-), (-) (-) = (+). Limite de L / 0 Si le numérateur tend vers L 0 et le dénominateur vers 0, la limite est infinie. Le signe est déterminé par le signe de L et celui du zéro (0^+ ou 0^-).

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions