Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Limite d'un polynôme en = limite de son terme de plus haut degré a_n x^n. • Justification : factoriser par x^n. • Cette règle est UNIQUEMENT valable en + et - (jamais en un réel x_0).

Le cours

Méthode du terme de plus haut degré Pour une fonction polynôme P(x) = a_n x^n + a_n-1 x^n-1 + + a_0 en + ou - : Dès que les termes n'ont pas tous le même signe à l'infini, on obtient une indétermination « - ». Pour la lever rigoureusement au Bac : 1. On factorise par le terme de plus haut degré x^n : P(x) = x^n ( a_n + a_n-1x + + a_0/x^n ) 2. Tous les termes en 1/x^k tendent vers 0 quand x . 3. La parenthèse tend vers a_n 0. 4. Théorème : La limite d'une fonction polynôme en est égale à la limite de son terme de plus haut degré : _x P(x) = _x (a_n x^n) Rédaction attendue au Bac Ne te contente pas d'écrire la règle sans factoriser : factorise explicitement x^n pour justifier proprement la limite. Exemple type P(x) = -3x^4 + 5x^2 - 7. En - : P(x) = x^4 (-3 + 5/x^2 - 7/x^4) (+) (-3) = -.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions