Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Nombre dérivé : f'(a) = _h 0 f(a+h) - f(a)/h. • Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). • Sur un intervalle I : f' 0 sur I f croissante sur I.

Le cours

Nombre dérivé et tangente • Taux de variation : Entre a et a + h (h 0) : (h) = f(a + h) - f(a)/h. • Nombre dérivé : f'(a) = _h 0 f(a + h) - f(a)/h. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. • Équation de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a) Lien signe de f' et variations • Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. • Si f'(x) Extremum local Si f' s'annule en x_0 en changeant de signe, alors f(x_0) est un extremum local (maximum si + -, minimum si - +).

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions