Limite infinie en un point réel et asymptote verticale

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x a f(x) = droite x = a est asymptote verticale. • Équation de la forme x = a (et non y = a). • Nécessite d'étudier le signe du dénominateur (0^+ ou 0^-).

Le cours

Limite infinie en un réel et asymptote verticale Soit a un réel non inclus dans le domaine de définition de f (valeur interdite). • Si _x a f(x) = + ou - (ou à gauche x a^-, ou à droite x a^+), alors la droite d'équation : x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative C_f. La courbe « longe » la droite verticale x = a sans jamais la toucher. Limites à gauche et à droite Souvent, le signe du dénominateur change selon que x a : • _x 0^+ 1/x = + • _x 0^- 1/x = - Il est indispensable de dresser le tableau de signes du dénominateur. Règle des signes : quotient L / 0 Pour L > 0 : L/0^+ = + et L/0^- = -. Pour L < 0 : L/0^+ = - et L/0^- = +.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions