Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Continuité en x_0 _x x_0 f(x) = f(x_0). • Dérivable Continue (la réciproque est fausse : contre-exemple f(x) = |x| en 0). • Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition.

Le cours

Définition de la continuité • Continuité en un point : Une fonction f définie sur un intervalle contenant x_0 est dite continue en x_0 si : _x x_0 f(x) = f(x_0) • Continuité sur un intervalle : f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I. • Interprétation graphique : La courbe représentative d'une fonction continue sur un intervalle se trace d'un trait continu, « sans lever le crayon ». • Lien dérivabilité - continuité : Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse (ex: x |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0). Continuité des fonctions usuelles Toutes les fonctions construites par somme, produit, quotient ou composition de fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, exponentielle et trigonométriques sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Continuité d'une fonction définie par morceaux Pour vérifier la continuité au point de raccordement x_0 : calculer _x x_0^- f(x), _x x_0^+ f(x) et f(x_0). Les trois valeurs doivent être égales.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions