Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Asymptote horizontale : y = L en l'infini. • Asymptote verticale : x = a en valeur interdite. • Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances de x. • TVI : continuité + stricte monotonie = bijection.
Le cours
Synthèse d'excellence : Limites, Continuité et TVI Au Baccalauréat, l'étude des limites et de la continuité s'articule autour de compétences incontournables : 1. Asymptotes : • _x f(x) = L asymptote horizontale y = L. • _x a f(x) = asymptote verticale x = a. 2. Levée des formes indéterminées : • Polynômes et rationnelles en : factoriser le terme de plus haut degré. • Expressions avec racines : quantité conjuguée. • Fonctions avec exponentielle : croissances comparées e^x/x^n +. 3. Encadrement et comparaison : Gendarmes pour et . 4. Théorème de la bijection : Prouver qu'une équation f(x) = k admet une unique solution sur un intervalle, puis en déduire le signe de f(x). Formulaire des F.I. • « - » factoriser le terme prépondérant. • « / » simplifier les puissances dominantes. • « 0 / 0 » factoriser par (x - a) ou conjugué. • « 0 » réécrire sous forme de quotient. Rédaction type Bac du TVI « f est continue et strictement croissante sur [a ; b]. Comme 0 est compris entre f(a) et f(b), d'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution [a ; b]. »
Dans ce chapitre
- Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
- Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
- Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
- Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
- Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
- Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
- Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
- Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
- Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
- Identification des quatre formes indéterminées
- Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
- Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
- Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
- Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
- Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
- Limite d'une fonction composée g f
- Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
- Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
- Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
- Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
- Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
- Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions