Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x + e^x/x^n = + (l'exponentielle domine en +). • _x - x^n e^x = 0 (l'exponentielle domine en -). • À citer explicitement comme « théorème des croissances comparées ».

Le cours

Croissances comparées de l'exponentielle Au voisinage de l'infini, la fonction exponentielle l'emporte sur toute fonction puissance x^n (n N^*) : • En + : _x + e^x/x = + et pour tout n N^*, _x + e^x/x^n = + • En - : _x - x e^x = 0 et pour tout n N^*, _x - x^n e^x = 0 Inverse des quotients Par passage à l'inverse : _x + x^n/e^x = 0 et _x + x^n e^-x = 0 Changement de variable Pour prouver _x - x e^x = 0, on pose X = -x + : x e^x = -X e^-X = -X/e^X 0.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions