Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Limite en = limite du quotient des monômes dominants a_n x^n/b_m x^m. • En x_0 (forme 0/0) : factoriser par (x - x_0) et simplifier. • Si degrés égaux, asymptote y = a_n/b_m.

Le cours

Limites de fonctions rationnelles P(x)/Q(x) Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes f(x) = P(x)/Q(x). • En (forme « / ») : On factorise le numérateur et le dénominateur par leurs termes de plus haut degré respectifs. Théorème : La limite d'une fonction rationnelle en est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré : _x a_n x^n + /b_m x^m + = _x a_n x^n/b_m x^m • En une valeur interdite x_0 (forme « 0/0 ») : On factorise P(x) et Q(x) par (x - x_0) et on simplifie la fraction avant de calculer la limite. Trois cas en l'infini • Si n m : limite = (branche infinie). Exemple type Bac f(x) = 3x^2 - 5x + 1/2x^2 + 4. En + : _x + f(x) = _x + 3x^2/2x^2 = 3/2. Asymptote horizontale y = 1,5.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions