Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Hypothèse indispensable : f continue sur [a ; b]. • k compris entre f(a) et f(b) existence d'au moins une solution c [a ; b]. • Si f(a) f(b) < 0, alors f(x) = 0 a au moins une solution.

Le cours

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c [a ; b] tel que : f(c) = k • Cas particulier fondamental (k = 0) : Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires (f(a) f(b) 0), alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a ; b]. • Interprétation géométrique : La droite horizontale y = k coupe la courbe C_f au moins une fois entre les abscisses a et b. Condition obligatoire : Continuité Si la fonction n'est pas continue, elle peut faire un « saut » et ne jamais prendre la valeur k même si k est compris entre f(a) et f(b). Théorème d'existence Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, mais ne garantit PAS son unicité (il peut y avoir 1, 2, 3... ou une infinité de solutions).

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions