Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x + f(x) = + les images dépassent tout seuil M. • Asymptote oblique : _x [f(x) - (ax+b)] = 0. • Attention à la parité des puissances pour les limites en -.

Le cours

Limites infinies en l'infini • Définition : _x + f(x) = + signifie que pour tout réel M > 0, f(x) > M pour tout x suffisamment grand. • Définition : _x + f(x) = - signifie que pour tout réel M > 0, f(x) Asymptote oblique Si _x + [f(x) - (ax + b)] = 0, la droite d'équation y = ax + b est appelée asymptote oblique à C_f en +. Fonctions de référence • _x + x^2 = +, _x + x^3 = + • _x + x = +, _x + e^x = + • _x - x^2 = +, _x - x^3 = -

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions