Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• 3 conditions absolues : continue + strictement monotone + k dans l'image. • Conclusion : existence ET UNICITÉ de la solution . • Permet d'établir le tableau de signes de f(x).

Le cours

Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I (fermé, ouvert ou infini). Si : 1. f est continue sur I, 2. f est strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur I, alors pour tout réel k compris entre les limites de f aux bornes de I, l'équation : f(x) = k admet une solution unique dans I. On dit que f réalise une bijection de I sur l'intervalle image f(I). Les 3 piliers de la rédaction au Bac 1. Continuité : « f est continue sur I ». 2. Stricte monotonie : « f est strictement croissante (ou décroissante) sur I ». 3. Appartenance de k : « k [f(a) ; f(b)] (ou k ]_a ; _b[) ». Conclusion : « D'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = k admet une unique solution dans I ». Déduction du signe de f(x) Si f est strictement croissante et f() = 0 : • Pour x , f(x) > 0. Ce résultat permet de dresser le tableau de signes de f(x).

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions