Limite d'une fonction composée g f

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• _x a f(x) = b et _X b g(X) = c _x a g(f(x)) = c. • Changement de variable X = f(x). • Très utile avec e^u(x) ou u(x).

Le cours

Théorème de la limite d'une composée Soient a, b, c des éléments de R \-, +\. Soient f et g deux fonctions telles que g f soit définie au voisinage de a. Théorème : Si : _x a f(x) = b et _X b g(X) = c alors : _x a (g f)(x) = _x a g(f(x)) = c On effectue mentalement ou par écrit le changement de variable X = f(x). Rédaction en 3 étapes 1. On pose X = f(x) et on calcule _x a X = b. 2. On calcule _X b g(X) = c. 3. Par théorème de composition des limites, la limite vaut c. Exemple avec exponentielle Pour e^-x^2 en + : Quand x +, X = -x^2 -. Or _X - e^X = 0, donc _x + e^-x^2 = 0.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions