Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Factorisation par (x - a) : Si un polynôme P(x) s'annule en a (P(a) = 0), alors P(x) se factorise par (x - a) : P(x) = (x - a) Q(x). • Factorisation par le terme dominant en : Pour tout polynôme, on met en facteur la plus grande puissance de x : ax^n + bx^n-1 + = ax^n(1 + b/ax + ). • Identités remarquables : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Le cours

Factoriser un polynôme • Factorisation par (x - a) : si un polynôme P s'annule en a (P(a) = 0), on peut écrire P(x) = (x - a)Q(x), où Q est un polynôme de degré une unité de moins. On trouve Q par identification des coefficients. • Second degré : si ax^2 + bx + c a deux racines x_1 et x_2 ( > 0), alors ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) ; si = 0, ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2. Par exemple, x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). • Identités remarquables : a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), a^2 2ab + b^2 = (a b)^2. Mettre en facteur la plus grande puissance Pour x 0, on met en facteur la plus grande puissance de x : 2x^2 - 3x + 5 = x^2(2 - 3/x + 5/x^2). Chaque terme de la parenthèse s'obtient en divisant le terme d'origine par x^2. Simplifier une expression rationnelle 1. Chercher les valeurs interdites (dénominateur nul). 2. Factoriser numérateur et dénominateur. 3. Simplifier le facteur commun. Exemple : pour x \0\,;\,2\, x^2 - 4/x^2 - 2x = (x - 2)(x + 2)/x(x - 2) = x + 2/x. Pourquoi c'est utile en Terminale La levée des formes indéterminées « 0/0 » et « / » repose sur ces deux gestes : factoriser par (x - a) en un réel a, et par la plus grande puissance de x en . L'égalité simplifiée n'est valable qu'en dehors des valeurs interdites de l'expression de départ.

Dans ce chapitre

• Fonctions de référence, variations et lectures graphiques de Première
• Taux de variation, nombre dérivé et équation de la tangente de Première
• Limite finie en l'infini et asymptote horizontale
• Factorisation de polynômes et simplification d'expressions rationnelles de Première
• Limite infinie en l'infini et comportements asymptotiques
• Limite infinie en un point réel et asymptote verticale
• Limite finie en un point réel et prolongement par continuité
• Limites des fonctions usuelles : puissances, inverse, racine carrée et exponentielle
• Opérations algébriques sur les limites : somme, produit et quotient
• Identification des quatre formes indéterminées
• Lever une indétermination polynomiale en factorisant le terme de plus haut degré
• Lever une indétermination rationnelle en factorisant aux bornes du domaine
• Lever une indétermination avec des racines carrées par la quantité conjuguée
• Théorèmes de comparaison : minoration et majoration vers l'infini
• Théorème d'encadrement (Théorème des gendarmes) pour les fonctions
• Limite d'une fonction composée g f
• Croissances comparées de la fonction exponentielle et des puissances de x
• Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : existence de solutions
• Corollaire du TVI (Théorème de la bijection) : unicité de la solution
• Méthode de dichotomie et recherche algorithmique de seuils en Python
• Bilan : Synthèse et méthode sur Limites et continuité des fonctions