Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Coordonnées de AB : (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A). • Égalité de vecteurs : u = v x=x', y=y', z=z'. • Combinaison linéaire : coordonnées terme à terme.
Le cours
Repère cartésien de l'espace (O; i, j, k) Un repère de l'espace est constitué d'une origine O et d'un triplet de vecteurs non coplanaires (i, j, k). Pour tout point M, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que : OM = xi + yj + zk • x est l'abscisse, y l'ordonnée, z la cote de M. • Si A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B), le vecteur AB a pour coordonnées : ABpmatrix x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A pmatrix Opérations sur les vecteurs Soient u(x, y, z) et v(x', y', z') : • Somme : u + v(x + x', y + y', z + z') • Multiplication par un réel : ku(kx, ky, kz) Repérage dans un cube Dans un cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère (A; AB, AD, AE) : A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), E(0,0,1), G(1,1,1).
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace