Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• En perspective cavalière, le parallélisme et les milieux sont conservés, pas les angles ni les longueurs fuyantes. • Dans un pavé droit, deux arêtes peuvent être parallèles, sécantes, ou ni l'une ni l'autre, comme (AB) et (CG). • Section d'un pavé droit parallèle à une face : rectangle superposable à cette face. • Section d'une pyramide ou d'un cône parallèle à la base : réduction de rapport k (aires k^2, volumes k^3).

Le cours

Lire un solide en perspective cavalière Au collège, on représente un cube, un pavé droit, une pyramide ou un tétraèdre en perspective cavalière : • la face avant est dessinée en vraie grandeur ; • deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin, et le milieu d'une arête reste son milieu ; • les arêtes cachées sont tracées en pointillés ; • les angles droits et les longueurs « fuyantes » ne sont pas conservés : on ne mesure jamais sur la figure. Positions de deux arêtes d'un pavé droit Dans le pavé droit ABCDEFGH (face ABCD en bas, E au-dessus de A, F au-dessus de B…) : • (AB) et (EF) sont parallèles : ce sont les côtés opposés du rectangle ABFE ; • (AB) et (BC) sont perpendiculaires en B ; • (AB) et (CG) ne se coupent pas et ne sont pas parallèles : aucune face ne les contient toutes les deux. Sections planes (3e) • Pavé droit coupé parallèlement à une face : rectangle identique à cette face. • Pavé droit coupé parallèlement à une arête : rectangle. • Cylindre coupé parallèlement à sa base : disque de même rayon. • Pyramide ou cône coupé parallèlement à la base : réduction de la base de rapport k = distance au sommethauteur ; les aires sont multipliées par k^2, les volumes par k^3. • Sphère coupée par un plan : cercle. Vers la Terminale Dans un pavé droit, on se repère déjà avec trois nombres (abscisse, ordonnée, altitude). Ce chapitre généralise ces observations : coordonnées dans l'espace, droites et plans parallèles, droites non coplanaires, sections calculées par les équations.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace