Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• u n 0 intersection = unique point I. • Remplacer x(t), y(t), z(t) dans l'équation cartésienne du plan pour trouver t. • Remplacer t dans le système paramétrique pour obtenir I(x, y, z).

Le cours

Intersection d'une droite et d'un plan Soit d une droite dirigée par u et P un plan de vecteur normal n : • Si u n = 0, la droite d est parallèle au plan P (soit contenue dans P, soit d'intersection vide). • Si u n 0, la droite d et le plan P sont sécants en un unique point I. Méthode de calcul des coordonnées du point d'intersection I : 1. Injecter les expressions de x(t), y(t), z(t) de la droite dans l'équation du plan. 2. Résoudre l'équation du premier degré d'inconnue t pour trouver la valeur t_0. 3. Remplacer t_0 dans la représentation paramétrique de d pour obtenir les coordonnées de I. Droite orthogonale au plan Si u et n sont colinéaires, la droite est non seulement sécante mais perpendiculaire (orthogonale) au plan. Vérification Injecte toujours les coordonnées trouvées de I dans l'équation du plan pour vérifier que ax_I + by_I + cz_I + d = 0.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace