Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Droite par A(x_A, y_A, z_A) dirigée par u(a, b, c) : cases x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct cases (t R). • Les coefficients de t sont les coordonnées du vecteur directeur.
Le cours
Système paramétrique d'une droite Soit d la droite passant par le point A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a, b, c) avec (a, b, c) (0, 0, 0). Un point M(x, y, z) appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel t R tel que AM = tu. Ce qui se traduit par le système d'équations paramétriques : cases x = x_A + a t \\ y = y_A + b t \\ z = z_A + c t cases (t R) Non-unicité de la représentation Une même droite possède une infinité de représentations paramétriques selon le point d'ancrage choisi sur la droite et le vecteur directeur colinéaire utilisé. Droite passant par deux points Pour la droite (AB), on prend A comme point de départ et u = AB comme vecteur directeur : x = x_A + t(x_B - x_A), etc.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace