Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Deux droites sont sécantes non parallèles et ont un unique point commun. • Deux droites sont non coplanaires non parallèles et sans point commun. • Toujours nommer les paramètres différemment (t et s).

Le cours

Positions relatives de deux droites dans l'espace Dans l'espace, deux droites d_1 et d_2 peuvent être : 1. Coplanaires : • Parallèles (strictement ou confondues) si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. • Sécantes en un unique point d'intersection si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires et que le système d'intersection admet une solution unique. 2. Non coplanaires : Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires ET elles n'ont aucun point commun. Méthode de recherche de l'intersection 1. Utiliser deux paramètres distincts : t pour d_1 et s pour d_2. 2. Égaler les coordonnées : x(t) = x(s), y(t) = y(s), z(t) = z(s). 3. Résoudre le système de 3 équations à 2 inconnues (t, s). Arbre de décision • Vecteurs directeurs colinéaires ? Parallèles ou confondues. • Vecteurs non colinéaires + point commun ? Sécantes. • Vecteurs non colinéaires + aucun point commun ? Non coplanaires.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace