Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0. • Vecteur normal : n(a, b, c). • M P AM n = 0.
Le cours
Vecteur normal et équation cartésienne • Un vecteur non nul n est dit normal à un plan P si sa direction est orthogonale au plan P. • Équation cartésienne : Dans un repère orthonormé : Tout plan P admet une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 où (a, b, c) (0, 0, 0) sont les coordonnées d'un vecteur normal n(a, b, c) à P. • Réciproquement, l'ensemble des points M(x, y, z) vérifiant ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n(a, b, c). Déterminer l'équation avec un point Si on connaît un point A(x_A, y_A, z_A) et un vecteur normal n(a, b, c) : M P AM n = 0 a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0. Plans particuliers • Plan (Oxy) : z = 0, vecteur normal k(0, 0, 1) • Plan (Oxz) : y = 0, vecteur normal j(0, 1, 0) • Plan (Oyz) : x = 0, vecteur normal i(1, 0, 0)
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace