Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule analytique : u v = xx' + yy' + zz'. • Norme : \|u\| = x^2 + y^2 + z^2. • () = u v\|u\| \|v\|.

Le cours

Produit scalaire dans l'espace Soient u et v deux vecteurs de l'espace. Comme deux vecteurs définissent toujours un plan (ou une droite), le produit scalaire dans l'espace se ramène à celui du plan : u v = \|u\| \|v\| (u, v) Dans un repère orthonormé (O; i, j, k), avec u(x, y, z) et v(x', y', z') : u v = xx' + yy' + zz' Propriétés algébriques • Bilinéarité : u ( v + w) = (u v) + (u w) • Carré scalaire : u^2 = u u = \|u\|^2 = x^2 + y^2 + z^2 • Identités remarquables : (u + v)^2 = \|u\|^2 + 2u v + \|v\|^2 Calcul d'angles dans l'espace Pour déterminer l'angle géométrique = (u, v) : () = u v\|u\| \|v\| = xx' + yy' + zz'x^2+y^2+z^2x'^2+y'^2+z'^2

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace