Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• w coplanaire à u, v w = au + bv. • A, B, C, D coplanaires AD = aAB + bAC. • Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.
Le cours
Coplanarité de vecteurs et de points Soient u et v deux vecteurs non colinéaires. Un vecteur w est coplanaire à u et v s'il existe deux réels a et b tels que : w = au + bv • Quatre points A, B, C, D (avec A, B, C non alignés) sont coplanaires ssi le vecteur AD est une combinaison linéaire de AB et AC : AD = aAB + bAC Méthode de résolution par système Pour tester la coplanarité de u, v, w : 1. Écrire le système de 3 équations à 2 inconnues (a, b). 2. Résoudre le système formé par les 2 premières lignes. 3. Vérifier si le couple (a, b) satisfait la 3ème équation. Base de l'espace Trois vecteurs u, v, w forment une base de l'espace si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace