Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Milieu : I(x_A+x_B/2, y_A+y_B/2, z_A+z_B/2). • Distance : AB = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2. • La formule de la distance nécessite impérativement un repère orthonormé.
Le cours
Formules du milieu et de la distance dans l'espace Soient A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B) deux points dans un repère orthonormé : • Coordonnées du milieu I de [AB] : x_I = x_A + x_B/2, y_I = y_A + y_B/2, z_I = z_A + z_B/2 • Distance entre A et B : AB = \|AB\| = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 • Norme d'un vecteur u(x, y, z) : \|u\| = x^2 + y^2 + z^2 Centre de gravité d'un triangle Le centre de gravité G du triangle ABC (point de concours des médianes, situé aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet) a pour coordonnées la moyenne de celles des sommets : x_G = x_A + x_B + x_C/3, y_G = y_A + y_B + y_C/3, z_G = z_A + z_B + z_C/3. Sphère dans l'espace La sphère de centre (x_0, y_0, z_0) et de rayon R est l'ensemble des points M(x, y, z) tels que : (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace