Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Plan (A, u, v) : cases x = x_A + at + a's \\ y = y_A + bt + b's \\ z = z_A + ct + c's cases (t, s R). • Les vecteurs directeurs u et v doivent impérativement être non colinéaires.
Le cours
Caractérisation paramétrique d'un plan Un plan P est uniquement déterminé par un point A(x_A, y_A, z_A) et deux vecteurs directeurs non colinéaires u(a, b, c) et v(a', b', c'). Un point M(x, y, z) appartient au plan P si et seulement s'il existe deux réels t, s R tels que : AM = tu + sv Ce qui donne la représentation paramétrique du plan : cases x = x_A + a t + a' s \\ y = y_A + b t + b' s \\ z = z_A + c t + c' s cases (t, s R) Plan passant par 3 points Trois points non alignés A, B, C définissent un unique plan P = (ABC). Ses vecteurs directeurs sont u = AB et v = AC. Vérifier l'appartenance d'un point Pour savoir si P P, on remplace les coordonnées de P et on résout le système à 2 inconnues (t, s). S'il est compatible, P P.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace