Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• u et v colinéaires v = ku. • En coordonnées : x' = kx, y' = ky, z' = kz (soit x'/x = y'/y = z'/z quand x, y, z 0). • A, B, C alignés AB et AC colinéaires.

Le cours

Colinéarité et alignement dans l'espace Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un nombre réel k tel que : v = ku ou u = kv En coordonnées, u(x, y, z) et v(x', y', z') (avec u 0) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que : x' = kx, y' = ky, z' = kz Lorsque x, y et z sont tous non nuls, cela revient à l'égalité des quotients x'/x = y'/y = z'/z = k. Si une coordonnée de u est nulle, la coordonnée correspondante de v doit l'être aussi. Alignement de trois points Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires : AC = kAB Parallélisme de droites Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs AB et CD sont colinéaires.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace