Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• H est le projeté de A sur P H P et AH colinéaire à n. • La droite (AH) a pour vecteur directeur le vecteur normal n. • AH est la distance la plus courte entre A et le plan P.
Le cours
Projeté orthogonal sur un plan et sur une droite • Projeté orthogonal d'un point A sur un plan P : C'est l'unique point H P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P. Algorithme de calcul de H : 1. Écrire la représentation paramétrique de la droite passant par A et dirigée par le vecteur normal n de P : cases x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct cases 2. Calculer l'intersection de et P pour obtenir H. • Projeté orthogonal de A sur une droite d : C'est l'intersection H de la droite d avec le plan perpendiculaire à d passant par A. Propriété de distance minimale Le projeté orthogonal H est le point du plan (ou de la droite) le plus proche de A. Pour tout point M P, AM AH. Théorème de Pythagore Pour tout point M P (M H), le triangle AHM est rectangle en H, donc AM^2 = AH^2 + HM^2.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace