Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• d(A, P) = AH, où H est le projeté orthogonal de A sur P. • Méthode : droite (A, n), intersection avec P pour t = t_0, puis AH = |t_0| \|n\|. • Contrôle (formule non exigible) : d(A, P) = |ax_A + by_A + cz_A + d|a^2 + b^2 + c^2. • Sans repère : volume d'un tétraèdre calculé avec deux bases différentes.

Le cours

Distance d'un point à un plan : définition et méthode du programme La distance d'un point A à un plan P est la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur P : c'est la plus petite des distances AM pour M P, car AM^2 = AH^2 + HM^2 AH^2. Méthode (repère orthonormé, P : ax + by + cz + d = 0, n(a, b, c)) : 1. Écrire la droite passant par A dirigée par n : x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct. 2. Substituer dans l'équation de P et trouver t_0 ; on obtient H. 3. Calculer AH = \|AH\|. Comme AH = t_0n, on a directement AH = |t_0| \|n\|. Formule analytique (complément non exigible) En menant le calcul précédent en général, on trouve t_0 = -ax_A + by_A + cz_A + d/a^2 + b^2 + c^2, d'où : d(A, P) = |ax_A + by_A + cz_A + d|a^2 + b^2 + c^2 Elle n'est pas exigible en Terminale : utilise-la pour contrôler un résultat, mais rédige avec le projeté orthogonal. Méthode géométrique : les volumes Sans repère, la distance d'un sommet au plan de la face opposée d'un tétraèdre est sa hauteur h. En calculant le volume de deux façons, V = 1/3 B_1 h_1 = 1/3 B_2 h, on obtient h.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace