Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• u v = xx' + yy' en repère orthonormé du plan. • u v u v = 0. • \|u\| = x^2 + y^2.

Le cours

Formules fondamentales du produit scalaire dans le plan Soient u et v deux vecteurs du plan : • Formule trigonométrique : u v = \|u\| \|v\| (u, v) • Formule analytique en repère orthonormé : si u(x, y) et v(x', y'), alors u v = xx' + yy' • Norme d'un vecteur : \|u\| = x^2 + y^2 • Critère d'orthogonalité : u v u v = 0 xx' + yy' = 0 Propriétés algébriques • Symétrie : u v = v u • Linéarité : ( u) v = (u v) • Carré scalaire : u u = u^2 = \|u\|^2 Exemple d'application Si u(3, -2) et v(4, 6) : u v = 3 4 + (-2) 6 = 12 - 12 = 0. Les vecteurs u et v sont donc orthogonaux.

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace