Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
• Droite : représentation paramétrique cases x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct cases. • Plan : équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. • Orthogonalité : u v = 0. • Volume tétraèdre : 1/3 B h.
Le cours
Synthèse d'excellence : Géométrie vectorielle et repérée de l'espace Au Baccalauréat, l'exercice de géométrie dans l'espace est guidé et suit quasi systématiquement cette trame : 1. Repérage : Définir les coordonnées des sommets du solide dans un repère orthonormé canonique. 2. Vecteur normal : Démontrer qu'un vecteur n est normal au plan (ABC) en vérifiant n AB = 0 et n AC = 0. 3. Équation cartésienne : En déduire l'équation ax + by + cz + d = 0. 4. Représentation de droite : Donner la représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan passant par un point S. 5. Projeté et distance : Déterminer l'intersection H (projeté orthogonal) et calculer la hauteur SH. 6. Calculs d'aires et de volumes : Volume de la pyramide : V = 1/3 Aire(base) SH. Formulaire express • Produit scalaire : u v = xx' + yy' + zz' • Distance : AB = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2 • Distance point-plan : d(A, P) = AH avec H projeté orthogonal de A ; si AH = t_0n, alors AH = |t_0| \|n\| Points méthodes clés • Ne jamais omettre la vérification de non-colinéarité pour deux vecteurs directeurs. • Pour trouver un angle, utiliser () = u v\|u\| \|v\|. • Contrôler la cohérence des coordonnées trouvées avec la figure géométrique.
Dans ce chapitre
- Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
- Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
- Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
- Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
- Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
- Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
- Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
- Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
- Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
- Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
- Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
- Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
- Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
- Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
- Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
- Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
- Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
- Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
- Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
- Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
- Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
- Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace