Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• d P d est orthogonale à 2 droites sécantes de P. • u P u v_1 = 0 et u v_2 = 0 avec v_1, v_2 non colinéaires. • Si d P, alors d est orthogonale à TOUTE droite de P.

Le cours

Orthogonalité droite - plan • Définition : Une droite d est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. • Théorème fondamental de caractérisation : Une droite d est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. Vectoriellement : un vecteur directeur u de d doit être orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires v_1 et v_2 du plan P : cases u v_1 = 0 \\ u v_2 = 0 cases Conséquence majeure Si une droite d est orthogonale à un plan P, alors toute droite de P est orthogonale à d. C'est un moyen classique de démontrer l'orthogonalité de deux droites non coplanaires. Exemple dans un tétraèdre Pour prouver que la hauteur issue de S est orthogonale au plan (ABC), il suffit de prouver qu'elle est orthogonale à (AB) et à (AC).

Dans ce chapitre

• Produit scalaire, orthogonalité et coordonnées de vecteurs du plan de Première
• Équations de droites et calculs de distances dans le plan de Première
• Repérage cartésien, coordonnées d'un point et d'un vecteur dans l'espace
• Solides, arêtes parallèles et sections planes vus au collège
• Distance entre deux points et coordonnées du milieu dans l'espace
• Colinéarité de deux vecteurs de l'espace et caractérisation de l'alignement
• Vecteurs coplanaires et caractérisation de points coplanaires
• Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace
• Appartenance d'un point à une droite et parallélisme de deux droites
• Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes, parallèles ou non coplanaires
• Représentation d'un plan défini par un point et deux vecteurs directeurs
• Produit scalaire dans l'espace : définition, propriétés et calcul analytique
• Orthogonalité de deux vecteurs et orthogonalité de deux droites de l'espace
• Orthogonalité d'une droite et d'un plan : caractérisation par deux droites sécantes
• Vecteur normal à un plan et équation cartésienne ax + by + cz + d = 0
• Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points non alignés
• Positions relatives de deux plans : plans parallèles et plans sécants
• Intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan et sur une droite
• Distance d'un point à un plan : formule analytique et méthode géométrique
• Sections de solides (cubes et tétraèdres) par un plan
• Bilan : Synthèse et méthode sur Géométrie dans l'espace