Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• F est une primitive de f sur l'intervalle I lorsque F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x I. • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (théorème admis). • Pour vérifier qu'une fonction donnée est une primitive de f, on la dérive.

Le cours

Définition fondamentale Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que pour tout réel x I : F'(x) = f(x) Théorème d'existence Théorème admis : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Méthode de vérification Pour vérifier qu'une fonction candidate F est une primitive de f, il suffit de dériver F et de vérifier que l'on retrouve exactement f(x) pour tout x I. Lire le tableau des dérivées à l'envers Comme (x^2)' = 2x, la fonction x x^2 est une primitive de x 2x sur R. Comme (e^x)' = e^x, la fonction exponentielle est une primitive d'elle-même. Mais x x^2 + 5 est aussi une primitive de x 2x : une fonction qui admet une primitive en admet une infinité. Primitive et variations On part de f et on cherche F telle que F' = f : c'est le chemin inverse de la dérivation. Conséquence utile : le signe de f donne les variations de ses primitives. Si f 0 sur I, toute primitive F de f est croissante sur I, puisque F' = f 0.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles