Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, l'ensemble de toutes les primitives de f sur I est donné par \x F(x) + C C R\.

Le cours

Structure de l'ensemble des primitives Si F est une primitive d'une fonction f sur un intervalle I, alors toute fonction de la forme x F(x) + C (où C R est une constante) est aussi une primitive de f. Réciproquement, toutes les primitives de f sur I sont de cette forme. Théorème fondamental Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : Si F'(x) = G'(x) = f(x) sur I, alors (F - G)'(x) = 0, donc F(x) - G(x) = C. Interprétation géométrique Les courbes représentatives des différentes primitives d'une même fonction se déduisent les unes des autres par une translation verticale de vecteur C j. En tout point d'abscisse x, les tangentes sont parallèles (même coefficient directeur f(x)).

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles