Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

(e^x)' = e^x et (e^ax+b)' = a e^ax+b. Pour dériver e^ax+b, on multiplie par le coefficient a.

Le cours

Fondamentaux de Première : Dérivation de l'exponentielle La fonction exponentielle est sa propre dérivée : pour tout réel x, (e^x)' = e^x. Pour une fonction affine en exposant, la règle de dérivation en chaîne donne : (e^ax+b)' = a e^ax+b. Dérivation de e^ax+b Pour tous réels a et b : (e^ax+b)' = a\,e^ax+b Le coefficient a se place en facteur multiplicatif devant l'exponentielle. Cas particuliers usuels • (e^-x)' = -e^-x • (e^2x)' = 2e^2x • (e^kx)' = k e^kx Méthode : signe de la dérivée Comme e^ax+b > 0 pour tout réel x, la dérivée (e^ax+b)' = a\,e^ax+b a le signe de a : la fonction x e^ax+b est croissante si a > 0, décroissante si a À ne pas confondre • e^3 est une constante : (e^3)' = 0, alors que (e^3x)' = 3e^3x. • (e^x)^2 = e^2x, donc sa dérivée vaut 2e^2x (et non 2e^x). • Pour résoudre e^A = e^B, on utilise e^A = e^B A = B ; en particulier e^A = 1 A = 0.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles