Introduction aux équations différentielles et notion de solution

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Une équation différentielle a pour inconnue une FONCTION. Tester une solution consiste à dériver la fonction candidate et remplacer dans l'équation.

Le cours

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (généralement notée y), et qui fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées (y', y'', ). Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c'est déterminer toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l'égalité en tout point de I. Lien avec les primitives L'équation la plus simple est y' = f(x). Résoudre cette équation équivaut exactement à chercher l'ensemble des primitives de f : y(x) = F(x) + C. Vérification d'une solution Pour tester si une fonction f candidate est solution d'une équation différentielle, on calcule sa dérivée f', on l'injecte dans l'équation et on vérifie si l'égalité est satisfaite pour tout x.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles