Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Pour tous réels x_0 et y_0, il existe une unique solution de y' = ay telle que y(x_0) = y_0 : y(x) = y_0e^a(x - x_0). • Condition en 0 : y(x) = y_0e^ax.

Le cours

Existence et unicité de la solution Pour tout couple de réels (x_0, y_0), l'équation différentielle y' = ay admet une unique solution f vérifiant la condition initiale : f(x_0) = y_0 Condition en 0 : y(0) = y_0 Comme f(0) = C e^a 0 = C 1 = C, on a immédiatement C = y_0. La solution unique est donc : f(x) = y_0 e^ax Condition en x_0 0 f(x_0) = C e^a x_0 = y_0 C = y_0 e^-a x_0. D'où : f(x) = y_0 e^a(x - x_0). Exemple Solution de y' = 3y telle que y(1) = 2 : y(x) = Ce^3x, puis Ce^3 = 2, donc C = 2e^-3 et y(x) = 2e^3(x-1). Vérification : y(1) = 2e^0 = 2. La formule directe y(x) = y_0e^a(x - x_0), avec x_0 = 1, y_0 = 2 et a = 3, donne le même résultat en une ligne. Attention La condition initiale fixe la constante C, jamais le coefficient a de l'équation. Pour une condition en x_0 0, la valeur y_0 n'est pas C : il faut résoudre Ce^ax_0 = y_0.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles