Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)

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À retenir

• Une primitive de (x) est (x) ; une primitive de (x) est -(x). • Pour a 0 : une primitive de (ax+b) est 1/a(ax+b) et une primitive de (ax+b) est -1/a(ax+b).

Le cours

Primitives trigonométriques élémentaires Comme ( x)' = (x) et ( x)' = -(x), on obtient directement les primitives de (x) et (x) sur R. Formules fondamentales • Pour f(x) = (x) : F(x) = (x) + C • Pour f(x) = (x) : F(x) = -(x) + C Attention au signe moins qui apparaît pour la primitive de (x). Formes avec pulsation x + Pour 0 : • ( x + ) 1/( x + ) + C • ( x + ) -1/( x + ) + C Cycle des dérivées En dérivant successivement : - - . Chercher une primitive revient à reculer d'un cran dans ce cycle : une primitive de est , une primitive de est -, une primitive de - est . Exemple avec coefficient Une primitive de (2x) sur R est -1/2(2x). Vérification : (-1/2(2x))' = -1/2 (-2(2x)) = (2x). Les angles sont toujours en radians.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles