Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Pour a 0, les solutions de y' = ay + b sont f(x) = C e^ax - b/a avec C R. La solution constante est y_p = -b/a.

Le cours

Théorème de l'équation affine y' = ay + b Soient a et b deux nombres réels avec a 0. L'équation différentielle (E) : y' = ay + b admet pour solutions sur R les fonctions : f(x) = C e^ax - b/a où C est une constante réelle quelconque. Solution particulière constante On cherche une solution constante y_p(x) = k. Alors y_p' = 0, et l'équation devient 0 = ak + b k = -b/a. La fonction constante y_p(x) = -b/a est appelée solution d'équilibre. Principe de superposition Toute solution de (E) est la somme de la solution générale de l'équation homogène y' = ay et d'une solution particulière : y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C e^ax - b/a

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles