Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Décroissance radioactive : N(t) = N_0 e^- t avec demi-vie t_1/2 = (2)/. Dynamique de population malthusienne : P(t) = P_0 e^rt.

Le cours

Modèles différentiels en sciences De nombreux phénomènes naturels obéissent à une loi de proportionnalité entre la vitesse de variation et la quantité présente : • Décroissance radioactive : N'(t) = - N(t) avec > 0. • Croissance malthusienne de population : P'(t) = r P(t) avec un taux d'accroissement r > 0 (natalité moins mortalité). Décroissance radioactive et demi-vie N(t) = N_0 e^- t. La demi-vie (ou période radioactive) t_1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée : N(t_1/2) = N_0/2 e^- t_1/2 = 1/2 t_1/2 = (2)/ Dynamique des populations avec apport constant Modèle de type P'(t) = r P(t) + I, où I représente une immigration ou un apport constant. La solution est P(t) = C e^rt - I/r.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles